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等比数列前n项和

2025-02-26 06:00:40
导读 等比数列的前\(n\)项和是一个数学中非常重要的概念,广泛应用于各种科学领域,包括物理、工程学以及经济学。在讨论这个问题之前,我们首先...

等比数列的前\(n\)项和是一个数学中非常重要的概念,广泛应用于各种科学领域,包括物理、工程学以及经济学。在讨论这个问题之前,我们首先需要了解什么是等比数列。

什么是等比数列?

等比数列是一系列数字,其中任意一项与其前一项的比例是常数。这个比例被称为公比,通常用字母\(r\)表示。例如,数列2, 4, 8, 16, ...就是一个等比数列,它的首项\(a_1=2\),公比\(r=2\)。

等比数列的前\(n\)项和公式

等比数列的前\(n\)项和\(S_n\)可以通过下面的公式计算:

\[S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\]

当\(r \neq 1\)时,上述公式有效。如果\(r=1\),则等比数列为常数序列,此时前\(n\)项和\(S_n = na_1\)。

公式的推导

要理解这个公式的来源,我们可以从等比数列的定义出发。假设等比数列的前\(n\)项和为\(S_n\),那么:

\[S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1}\]

如果我们把这个式子乘以公比\(r\),得到:

\[rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \cdots + a_1r^n\]

将上面两个式子相减,可以消去中间大部分项,只剩下:

\[S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n\]

\[S_n(1-r) = a_1(1-r^n)\]

从而得到等比数列前\(n\)项和的公式:

\[S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\]

应用实例

假设我们有一个等比数列,其首项\(a_1=3\),公比\(r=2\),要求前5项的和。根据公式,我们有:

\[S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = \frac{3(1-32)}{-1} = 93\]

因此,这个等比数列的前5项和为93。

通过理解和应用等比数列的前\(n\)项和公式,我们可以解决许多实际问题,这不仅增强了我们的数学技能,也为我们提供了分析和解决问题的新视角。

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