三角函数的所有公式

三角函数是数学中的一个重要部分，广泛应用于物理、工程学、建筑学等多个领域。三角函数的基本概念包括正弦（sine, sin）、余弦（cosine, cos）和正切（tangent, tan），以及它们的倒数函数：余割（cosecant, csc）、正割（secant, sec）和余切（cotangent, cot）。下面列出了一些主要的三角恒等式和公式。

1. 基本定义

对于任意角θ：

- \(\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)

- \(\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)

- \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)

2. 倒数关系

- \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)

- \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)

- \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

3. 平方关系

- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)

- \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\)

- \(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\)

4. 和差公式

- \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\)

- \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\)

- \(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

5. 倍角公式

- \(\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta\)

- \(\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta\)

- \(\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\)

6. 半角公式

- \(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}\)

- \(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}\)

- \(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\)

这些公式构成了三角函数的基础知识体系，掌握它们有助于解决各种复杂的数学问题。

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