柯西分布的期望（柯西分布）

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1、只需考察事件(X/Y<=a)发生的概率。

2、为此，将此事件分为两部分:Y>0, X<=aY;Y<0, X>=aY于是其概率为两个如下形式二重积分的和∫∫Φ(x)Φ(y)dxdy其中x、y的范围分别是:y>0, x<=ay;y<0, x>=ay然后换元成极坐标，得到相应的(r,θ)范围是r>=0, arctan(1/a)<=θ<=π;r>=0, 2π-arctan(1/a)<=θ<=2π积出来的结果是(π-arctan(1/a))/π利用三角恒等式化简可得，上式等价于(arctan(a)+(π/2))/π也就是∫g(z)dzz的范围是 z<=a。

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