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所有三角形的性质及判定都有哪些(所有三角形的所有性质)

2024-05-05 21:15:26
导读 大家好,小东方来为大家解答以上的问题。所有三角形的性质及判定都有哪些,所有三角形的所有性质这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧...

大家好,小东方来为大家解答以上的问题。所有三角形的性质及判定都有哪些,所有三角形的所有性质这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、三角形的性质 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2、 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。

3、 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。

4、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5、 5.三角形共有六心:三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。

6、 性质:到三边距离相等。

7、 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。

8、 性质:到三个顶点距离相等。

9、 重心:三条中线的交点。

10、 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

11、 垂心:三条高所在直线的交点。

12、 性质:此点分每条高线的两部分乘积 旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质:到三边的距离相等。

13、 界心:经过三角形一顶点的把三角形周长分成1:1的直线与三角形一边的交点。

14、 性质:三角形共有3个界心,三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

15、 欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。

16、 6.三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的内角之和。

17、 7.一个三角形最少有2个锐角。

18、 8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 9.等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

19、 10.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c² 那么这个三角形就一定是直角三角形。

20、三角形的边角之间的关系 (1)三角形三内角和等于180°; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和; (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角; (4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边. (6)三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线. (7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等. (8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. (9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

21、 (10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

22、 (11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

23、 注意:①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

24、 ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

25、(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。

26、)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

27、特殊三角形 1.相似三角形 (1)形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 (2)相似三角形性质 相似三角形对应边成比例,对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段(角平分线、中线、高)相等 (3)相似三角形的判定 【1】三边对应成比例则这两个三角形相似 【2】两边对应成比例及其夹角相等,则两三角形相似 【3】两角对应相等则两三角形相似 2.全等三角形 (1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的性质。

28、 全等三角形对应角(边)相等。

29、 全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等。

30、 (3)全等三角形的判定 ① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形) 3.等腰三角形 等腰三角形的性质: (1)两底角相等; (2)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; 等腰三角形的判定: (1)等角对等边; (2)两底角相等; 4.等边三角形 等边三角形的性质: (1)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; (2)等边三角形的各角都相等,并且都等于60°。

31、 等边三角形的判定: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三角形的面积公式 (1)S△=1/2*ah(a是三角形的底,h是底所对应的高) (2)S△=1/2*ac*sinB=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC(三个角为∠A∠B∠C,对边分别为a,b,c,参见三角函数) (3)S△=√〔s*(s-a)*(s-b)*(s-c)〕 【s=1/2(a+b+c)】 (4)S△=abc/(4R)【R是外接圆半径】 (5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】 (6) | a b 1 | S△=1/2 * | c d 1 | | e f 1 | 【| a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】生活中的三角形物品 雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。

32、 三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等 (1)三边对应相等的两个三角形相等,简写为“SSS”。

33、 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”。

34、 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“AAS”。

35、 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS”。

36、 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”。

37、 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等,对应边也相等。

38、三角形中的线段 中线:顶点与对边中点的连线,平分三角形。

39、 高:顶点到对边垂足的连线。

40、 角平分线:顶点到两边距离相等的点所构成的直线。

41、 中位线:任意两边中点的连线。

42、三角形相关定理 重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点. 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点. 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点. 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心. 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心. 它们都是三角形的重要相关点. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 勾股定理 在Rt三角形ABC中,A≤90度,则 AB·AB+AC·AC=BC·BC A〉90度,则 AB·AB+AC·AC>BC·BC 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

43、它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

44、 证明: 过点A作AG‖BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

45、 三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。

46、利用这个逆定理,可以判断三点共线。

47、 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

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