谁的导数是arctanx

要找到一个函数，它的导数是\(\arctan x\)，我们可以通过积分来解决这个问题。首先，我们需要知道\(\arctan x\)的原函数（即积分）是什么。

\[

f(x) = \int \arctan x \, dx

\]

为了求解这个积分，我们可以使用分部积分法。分部积分法的基本公式是：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在这个情况下，我们可以选择\(u = \arctan x\)和\(dv = dx\)。因此，\(du = \frac{1}{1+x^2}dx\)，而\(v = x\)。将这些代入分部积分公式中，我们得到：

\[

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx

\]

接下来，我们需要计算右边的第二个积分。为了简化这个积分，我们可以使用换元积分法。设\(w = 1 + x^2\)，则\(dw = 2x \, dx\)，或者\(x \, dx = \frac{1}{2} dw\)。这样，原来的积分变为：

\[

-\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{w} \, dw = -\frac{1}{2} \ln|w| + C = -\frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C

\]

因此，最终结果为：

\[

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C

\]

所以，一个函数的导数是\(\arctan x\)，那么这个函数可以表示为：

\[

f(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

这里\(C\)是一个常数。这个函数就是我们要找的，其导数等于\(\arctan x\)。

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