n阶实对称矩阵的性质（对称矩阵的性质）

大家好,小东方来为大家解答以上的问题。n阶实对称矩阵的性质，对称矩阵的性质这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、首先 实对称阵 相似于对角阵 且特征值为实数只需证明(1)次对角元全非0时 所有特征值2，2不同就行了 这是因为我们可以把原矩阵分块成 一个对角阵和一个实对称三对角矩阵(设阶数分别为 s，t ) 使得这个子阵的的次对角元都是0 则 若(1)成立 则 这个子阵的的对角元2。

2、2不同 因为s阶对角阵最多有s重根 所以合起来最多有s+1重根(注意到 s恰是 次对角元中0的个数)下面证明(1)记此阵为 A 对角元为 a1,a2,...an 次对角元为 b1,b2...b(n-1) (bi 均非0)则若x为一个A的特征值 欲证特征子空间维数维1 则因为A-xI 仍为 实对称三对角矩阵 且次对角元不变所以我们只需在x=0时证明就行了设 x1,x2,...xn为0的特征向量则 a1x1+b1x2=0 b1x1+a2x2+b2x3=0...则 x2=-a1/b1*x1 x3=-1/b2(b1x1+a2x2)...所以 (x1,x2...xn)由x1唯一决定 所以维数是1 得证。

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